[2015년 운정고]

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[2학년 2학기 중간 기하와 벡터]

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |vecb |=2 |veca |]이고 [eqn: veca +vecb]와 [eqn: veca - { 2} over { 5}vecb]가 수직일 때, [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기는? [3.6점]

③

① [eqn: { pi} over {6 }]	② [eqn: { pi} over {4 }]	③ [eqn: { pi} over { 3}]

④ [eqn: piover2]	⑤ [eqn: { 2pi} over {3 }]

포물선 [eqn: x^2 =-8y] 위의 점에서 직선 [eqn: y=2x+10]에 이르는 거리의 최솟값은? [3.6점]

①

① [eqn: { 2 sqrt { 5} } over {5 }]	② [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {7 sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {9 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {12 sqrt {5}} over {5}]

두 직선 [eqn: {x} over {3} = {y+2} over {-2}], [eqn: x-4= {1-y} over {m}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: costheta= {1} over {sqrt {2}}]이다. 이 때, 실수 [eqn: m]의 값은? (단, [eqn: m>0]이다.) [3.6점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

타원 [eqn: { x^2} over { 16}+ { y^2} over { 9}=1] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]를 지나는 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. 삼각형 [eqn: rmABO]의 넓이의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3.6점]

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 5,```0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( -5,```0 RIGHT )]에 대하여 장축이 선분 [eqn: rmAB]인 타원의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하자. 초점이 [eqn: rmF]이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm bar{PQ} =4 sqrt {2}]일 때, 두 선분 [eqn: rmPF]와 [eqn: rmPF']의 길이의 차 [eqn: left| rm bar{PF} - bar{PF prime } right|]의 값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3.7점]

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]□	③ [eqn: 11]□□

④ [eqn: 13]□	⑤ [eqn: 15]□□

중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위에 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]가 [eqn: rmbarPQ =barPR]를 만족하며 움직이고 있을 때, [eqn: rmvecPQ cdot vecQR]의 최솟값은? [4.0점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점을 [eqn: rm F], 준선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm P], 점 [eqn: rm P]를 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l]이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rm bar{FA} : bar{FB} =2:3]일 때, 직선 [eqn: l]의 기울기는?

④

① [eqn: {2 sqrt {2}} over {3} ``]	② [eqn: {2 sqrt {3}} over {5} ``]	③ [eqn: {2 sqrt {5}} over {3} ``]

④ [eqn: {2 sqrt {6}} over {5} ``]	⑤ [eqn: {2 sqrt {7}} over {3} ``]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라 하고 [eqn: {rmvecOA }=veca], [eqn: {rmvecOB}=vecb]라 할 때, 다음을 만족시킨다.

네 실수 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: s], [eqn: t]에 대하여 [eqn: m+n+s+t]의 값은? [4.0점]

[eqn: circ][eqn: {rmvecDE}+{rmvecFE}=m veca +n vecb]

[eqn: circ][eqn: {rmvecCE}=s veca +t vecb]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 초점으로 하는 타원 [eqn: 9x^2 +25y^2 =225]이 있다. 제[eqn: 1]사분면에 있는 타원 밖의 점 [eqn: rmA]에 대하여 직선 [eqn: rmAF']과 이 타원이 만나는 점을 [eqn: rmP]라고 하자. [eqn: rmbarPF :barPF' =3:2]이고 [eqn: rmbarAP =barFP]일 때, 삼각형 [eqn: rmFAP]의 넓이는? [4.0점]

③

① [eqn: { 7 sqrt { 15} } over {2 }]	② [eqn: 4sqrt { 15}]	③ [eqn: { 9 sqrt { 15} } over 2{ }]

④ [eqn: 5sqrt { 15}]	⑤ [eqn: { 11 sqrt { 15} } over {2 }]

한 평면 위의 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여
[eqn: rm3 vecPA +4 vecPB +5 vecPC =vec0]
이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 60]일 때, 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이는? [4.2점]

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

직사각형 [eqn: rmABCD]의 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]의 길이는 각각 [eqn: 4], [eqn: 6]이고 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmE]라고 한다. 변 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {rmvec PD}=veca], [eqn: {rmvecPE }=vecb]라고 할 때, [eqn: |veca +3 vecb |]의 최솟값은? [4.2점]

①

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

그림과 같이 두 정점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 3 rm m]이고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPQ]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rm Q]에서 출발하여 직선 [eqn: l]을 따라 초속 [eqn: 1 rm m]의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rm {bar{AP}}^2 + {bar{PB}}^2 =250 LEFT ( rm m RIGHT )]을 만족시키며 점 [eqn: rm Q]쪽으로 움직이고 있다. [eqn: rm bar{AQ} =4]([eqn: rmm])가 되는 순간, 선분 [eqn: rm BQ]의 길이([eqn: rmm])의 시간(초)에 대한 변화율은? [4.3점]

⑤

① [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {6}} over {6}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {6}]	⑤ [eqn: - {sqrt {6}} over {9}]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]에 대하여 다음을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이는? [4.4점]

⑤

[eqn: circ][eqn: {rmvecOP}=m {rmvecOA}+n {rmvecOB}]

[eqn: circ][eqn: m ge0], [eqn: n ge0], [eqn: m+2n le 3]

① [eqn: { sqrt { 3} } over {8 }]	② [eqn: {3 sqrt {3}} over {8}]	③ [eqn: {5 sqrt {3}} over {8}]

④ [eqn: {7 sqrt {3}} over {8}]	⑤ [eqn: {9 sqrt {3}} over {8}]

평면 곡선 [eqn: x=3sint], [eqn: y= sqrt {2} `cost] ([eqn: 0<t<2pi]) 위의 점 [eqn: {rmP}(a,```b)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]이다. 이 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면에 있다.) [4.4점]

④

① [eqn: 2sqrt { 2}]	② [eqn: 2sqrt { 3}]	③ [eqn: 2sqrt { 5}]

④ [eqn: 2sqrt { 6}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 7}]

좌표평면 위에서 방정식 [eqn: (12x^2 +4y^2 -3)(6x^2 -2y^2 +3)=0]을 만족하는 점들의 집합을 [eqn: C]라 할 때,
[eqn: C cap left{(x,```y)`|`y=mx+1,```m>0인```정수 right}]
에 속하는 원소가 [eqn: 4]개가 되도록 하는 정수 [eqn: m]의 최솟값은? [4.4점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

쌍곡선 [eqn: { x^2} over {16 }- { y^2} over { 9}=1]의 두 꼭짓점을 [eqn: {rmA}(a,```0)], [eqn: {rmB}(-a,```0)]([eqn: a>0])라고 하자. 점 [eqn: rmB]를 지나면서 [eqn: x]축에 수직인 직선을 준선으로 하고, 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식이 [eqn: y^2 =4p(x-b)]일 때, 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: p]에 대하여 [eqn: a+b+p]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 16]

[eqn: a=4], [eqn: b=4], [eqn: p=8]

좌표평면에서 포물선 [eqn: y^2 =8x] 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 점 [eqn: rmB]는 다음 조건을 만족시킨다.

점 [eqn: rmA]가 포물선 [eqn: y^2 =8x] 위를 움직일 때 점 [eqn: rmB]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자. 이 때, 다음 물음에 답하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점, 각 5.0점]

(가) 점 [eqn: rmA]가 원점이면 점 [eqn: rmB]도 원점이다.

(나) 점 [eqn: rmA]가 원점이 아니면 점 [eqn: rmB]는 점 [eqn: rmA], 원점

그리고 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을

세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이다.

(1) [eqn: y^2 =6x]

(2) [eqn: 1over sqrt { 3}]

(1) 곡선 [eqn: C]가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.

(2) 곡선 [eqn: C]의 초점을 지나는 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: C]와 만나는 두

점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPQ =24]를 만족시키는 직선 [eqn: l]의

기울기를 [eqn: m]이라 할 때, 양수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

세 변의 길이가 [eqn: rmbarAB = sqrt { 5}], [eqn: rmbarBC = sqrt { 6}], [eqn: rmbarAC = sqrt { 17}]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 할 때, 다음을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

(1) [eqn: rm vecAB +vecAC][eqn: =3 rmvecAG]

(2) [eqn: 8]

(1) 두 벡터 [eqn: rm vecAB +vecAC]와 [eqn: rmvecAG]는 서로 평행임을 증명하시오.

[4.0점]

(2) [eqn: rmvecAB cdot vecAC]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

중심이 원점이고 초점이 [eqn: x]축 위에 있는 장축의 길이가 [eqn: 4], 단축의 길이가 [eqn: 2]인 타원과 두 점 [eqn: rmA(3,```0)], [eqn: rmB(0,```-2)]를 지나는 직선 [eqn: l]이 있다. 타원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 내적 [eqn: rmvecOP cdot vecAB]의 값 중 정수의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [10.0점]

[eqn: 13]

[2015년 운정고]

[2학년 2학기 중간 기하와 벡터]

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